Un Problema Matemático Cojonudo resuelto con Agua y Jabón

 

        Las pompas de jabón constituyen una hermosa diversión que deleita tanto a los niños como a los adultos; son fáciles de hacer utilizando recursos bien sencillos que están al alcance de todos. Pero la gente no imagina que esas bonitas películas, tan coloridas y relucientes también guardan unos  sorprendentes «secretos matemáticos». Aquí vamos a mostrarles que tan solo usando agua y jabón, podemos encontrar la respuesta a un viejo problema que es bien complicado, sin necesidad de recurrir a las herramientas matemáticas que el hombre ha tenido que inventar.  

 

        Son membranas muy delgaditas que están formadas por una capa de agua atrapada entre dos capas de moléculas de jabón. El jabón es un tensoactivo que le da estabilidad al agua pura que ella por sí sola no tiene. Las moléculas del jabón son unas cadenas largas de átomos que logran escabullirse de punta entre las moléculas de agua, así logran formar un especie de membrana que puede estirarse lo suficiente y es lo que permite que las pompas duren mas tiempo sin estallar.  

 

La Tensión Superficial 

 

        Esta es una propiedad que poseen todo los líquidos y se debe a la fuerte atracción de las moléculas que están en la superficie del líquido hacia su interior; que es la responsable de que la superficie se comporte como una membrana tensa con propiedades elásticas. 

 

          Este es un fenómeno que lo vamos a ilustrar con un experimento muy sencillo que consiste en llenar un vaso con agua hasta el tope, y luego proceder con cuidado a echarle varias monedas poco a poco. La superficie del agua se va abombando para no permitir que se derrame porque las fuerzas de cohesión entre las moléculas del agua hace que las que están en la superficie sean jaladas por sus compañeras hacia las del interior.  

 

Cuando echamos estas viejas monedas de un Bolívar en el vaso lleno de agua, 

la superficie se va abombando y no se nos derrama ni una gota.

 

            Otro efecto de la tensión superficial que tambien vamos a mostrar consiste en  introducir unos marcos de alambre en una solución de agua jabonosa y cuando los sacamos, se forma una membrana elástica que la podemos poner a oscilar sin que llegue a despegarse porque las moléculas adheridas a los marcos se resisten a soltar a sus compañeras de la película aunque las inviten a moverse.

 

Las películas de jabón son membranas elásticas que podemos bambolear.

Los fascinantes secretos matemáticos que esconde el jabón

       

            La Tensión Superficial es la que obliga a la pompa de jabón a estirar bien su superficie y que luego flote libremente en el aire con sus forma redondeada; esta geometría esférica preferida es una consecuencia del resultado matemático bien conocido de que para  encerrar un dado volumen, la superficie geométrica que tiene « la menor área posible» es una esfera. 

 

            Cuando introducimos estos marcos de alambre en la solución de agua con  jabón, es un hecho sorprendente que las películas hagan una búsqueda insólita de manera espontánea porque parece que saben mucha matemática y la geometría que finalmente buscan alcanzar es la que garantice la menor área superficial que sea compatible con sus bordes que le imponen los alambres.  

 

        El problema de las Carreteras

« Se desea construir  una red de carreteras en una zona geográfica plana para interconectar cuatro ciudades A, B, C y D, ubicadas en las esquinas de un cuadrado. Se requiere que la extensión total del recorrido tenga la menor longitud posible. ¿Cuál debe ser el trazado de la carretera? »

 

           Para resolver este problema no queremos meternos en camisa de once varas con las matemáticas engorrosas del «Cálculo Variacional»; esa que inventaron Bernoulli, Euler y Lagrange para poder lidiar con los problemas de máximos y mínimos de funciones que son bien complicadas como ésta.  Lo que vamos a hacer es una búsqueda inicial, probando con un tanteo de estas cinco opciones geométricas mostradas que tienen conexiones sencillas de tramos rectos.

 

 

        Cuando las comparamos lo que encontramos es que la que resulta mas corta es el trazado con dos rectas formando una "X", cuya longitud total es 2.83 a. Esto significa que si por ejemplo, el lado a del cuadrado fuera de 100 kilometros de largo, entonces la carretera que buscamos va a tener un total de 283 kilómetros de recorrido.

 

 

 ¿ Habrá otro trazado que tenga menor longitud ?

 

 

             Para dar con la respuesta, vamos a pedirle al agua y al jabón que se pongan a «echarle coco» a este problema para que nos echan una mano, ya que de estas cosas ellos dos trabajando juntos saben mucho mas que nosotros. Para ello les hemos preparado dos placas de plástico transparente separadas con cuatro tornillos, que van a representar las ciudades ubicadas en las esquinas del cuadrado.

 

 

            Cuando zambullimos estas placas transparentes en un tobo repleto de agua y jabón, se van a formar unas películas de jabón firmemente agarradas de los cuatro tornillos. Entonces el agua con el jabón empiezan a sacar sus cuentas y después de «un tira y encoge» logran encontrar la superficie de mínima área posible para darnos la respuesta al problema «en un santiamen».

 

Al introducir estas dos placas transparentes en el tobo de agua y jabón, se forma entre ellas una película de cinco trozos que queda agarrada de los cuatro tornillos. Su superficie será de área mínima y con ello debería quedar resuelto el problema.

 

 
        Se obtiene una configuración de carreteras que nos parece  un poco rebuscada y llama la atención que sus tramos se intersectan formando justamente ángulos de «120 grados» entre ellos. Este es un hecho curioso y ahora vamos a salir de las dudas sacando las cuentas trigonométricas para calcular la longitud total que tiene este recorrido tan raro.  

Cálculo de la longitud total de la carretera del Jabón y su comparación

con la de un trazado en forma de «X».  La del jabón resulta 3.6% mas corta.

 

¡ Eureka, el agua con el jabón tienen razón !

 

 

«Son remembranzas de clases en la USB, que dimos hace veinte años »

 

  

* Como un hecho anecdótico vale la pena mencionar que para poder lidiar con  esta clase de problemas tan complejos fue que los famosos matemáticos de la época: Bernoulli, Euler y Lagrange, inventaron el «Cálculo Variacional».  Esto sucedió en medio de un pleito con insultos de dimes y diretes que se armó entre Leibniz y Newton por el asunto de quien de los dos había inventado el Calculo Diferencial. La agria pelea terminó tablas con un empate técnico entre estos dos pesos pesados de la matemática. 

 

 «El Problema que no dejó dormir a Newton»

 

Puedes verlo en mi video del Canal USB You Tube

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=31jx7Xwc6jY